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情報(知ってるor知らない)と期待値

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モンティ・ホール問題 - Wikipedia

ってのがあって・・・

まあ、自分が完全に理解できてるか自信はないので、「ふーん」でおいておいて・・

以下、別の単にふと思いついた思考実験について書くだけなのですが・・・

公平な賭けの話で、事前情報が結果の確率に全く影響しない賭け事を考えてみる

  • 例えば単純にコインの表裏で・・・(確率 表1/2 裏1/2)
  • betは表裏を当てれば掛金2倍 外れれば没収 (胴元の取り分は0とする)

これは必勝法はない 期待値も±0

でも運が良ければ胴元は破産するのでこんなbet方法は採用されない

(運よく全員が当てればbetされた金額と同額を胴元は準備しないといけない)

ではbet方式を変えてみる

表裏を当てた者で全bet金額を山分け

これなら胴元はお金を準備しなくてもよい(儲けもないがたとえ話なので)

コインの表裏の確率は相変わらずそれぞれ1/2で、過去の情報から結果の予想はできない(公平な賭けである)

事象が確率1/2の公平な賭けであれば、期待値は±0で必勝法はない?

実はそうではないのでないかと・・・

あることを知っている知らないで期待値は大きく変わる(というbet方法になってる)

それは表裏にどれだけbetされているか? を知っているかいないか?

仮に、表に99万円 裏に1万円かけられていることを知っていて、どちらに賭けるのが得か?

※とりあえず、問題を単純化するため、bet金額は1人1万固定で、自分が賭けたあとすぐにbet期間は終了し、コイントスが行われるとする すると表は99人betしてて、裏は1人しかbetしてない

 

表に自分が賭けると、表は100人になるので、

勝つと総額101万を100人で山分け=1.01万円がもらえるけど

自分で1万出しているので、差額0.01万=100円の儲け

負けると単に1万没収

これがそれぞれ1/2の確率で起こるので

0.01×1/2+(-1)×1/2=-0.495

表に賭けると期待値-0.495万つまり-4950円

 

裏に賭けると、裏が2人になるので

勝つと総額101万を2人で山分け=50.5万円がもらえるけど

自分で1万出しているので、差額49.5万の儲け
負けると1万没収
これがそれぞれ1/2の確率で起こるので
49.5×1/2+(-1)×1/2=24.25
裏に掛けると期待値24.25万つまり242500円

 

つまり人気のない方に賭ければ期待値上がる例を書きたかったのだが・・・

例えば

  • 無限の人間が表裏に同数賭けた時

だとn→∞の極限値の計算になるので計算はパスしてw

感覚で多分期待値±0になると思う

まあここまではいいとして・・・

さて、問題は表裏どっちがbet多いかはわからないけど、少なくともどっちかに偏っているという情報はある場合だ

表、裏、どっちかはわからないけどどっちがbet数が極端に大きくなっていることは知っている場合

この場合ゴニョゴニョ思考実験すると

  • とにかく賭けた方がいい

となるみたいなんだが・・・・

上の例(99:1)で行くと

  • 1/2の確率で賭けに負けるが損失は1万円
  • 1/4の確率で勝って100円
  • 1/4の確率で勝って49.5万円

となるはずなので・・・

まあ自信はないけどw

とにかく事象の確率が1/2のイーブンでも、何かに偏りがあることが分かった場合、どっちでもいいから賭けとけばいいよ

みたいな投げやりな結論なんだけどもねw

 

実際は胴元がお金を取るので(トレードだと手数料)思考実験どおりではないのだけど・・・

株が上がるか下がるかはわからなくても(仮に本当に確率1/2でも)、何かに偏りがあればトレードした方がよく(買いでも売りでも)

更にうまくその偏りを検出してそれを知った上でトレードに生かせれば更に期待値を高められる

ってことかも・・・

あくまでも思考実験ですが・・・・

 

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駆使して生まれたその名は、ス・パ・カー・エス・ティー!

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